Математика футбольного мяча

Николай Андреев — о том, почему официальный мяч чемпионата мира на самом деле куб

Это лето проходит в России под знаком футбольного мяча. Казалось бы, мяч — предмет круглый, что еще о нем сказать? Но реальность не так проста, как кажется, и на то, чтобы повысить «сферообразность» футбольного мяча, производителям пришлось немало потрудиться. И вот уже шестой год мяч официальных турниров ФИФА — куб. Почему это так, по просьбе «Чердака» рассказывает математик Николай Андреев, создатель проекта «Математические этюды».

Читать оригинальный текст на chrdk.ru

Классика

Поверхность классического футбольного мяча состоит из слегка искривленных 12 правильных пятиугольников черного цвета и 20 правильных белых шестиугольников.

«Классическим» такой мяч был не всегда: впервые такие покрой и раскраска были использованы для официального мяча на чемпионате мира в 1970 году в Мексике. Черно-белая раскраска тогда была выбрана из соображений контрастности, чтобы мяч был лучше виден на экранах преобладавших в то время черно-белых телевизоров. Да и само название — Telstar — он получил в честь телевизионного спутника. В последующие годы раскраска официальных мячей менялась, но покрой оставался неизменным вплоть до чемпионата 2002 года.

С точки зрения математики классический футбольный мяч является усеченным икосаэдром.

Икосаэдр — один из пяти правильных многогранников. Его название происходит от древнегреческих слов «двадцать» и «основание». У икосаэдра 12 вершин, 20 граней — правильных треугольников, 30 ребер.

Изображение: Николай Андреев, «Математические этюды»

Если срезать вершины икосаэдра, отступив от вершин так, чтобы оставшиеся части граней были правильными шестиугольниками, то срезы будут правильными пятиугольниками. Это усеченный икосаэдр — один из полуправильных многогранников: все грани — правильные многоугольники нескольких разных типов, все вершины устроены «одинаково», т.е.многогранные углы при вершинах равны.

Итак, классический футбольный мяч — усеченный икосаэдр. Добавим еще немного математики — теорию групп, порожденных отражениями, — и сделаем простую в изготовлении, но красивую модель, которую можно продемонстрировать друзьям.

Для модели понадобятся три треугольных зеркала указанных размеров, изолента (скотч) для их скрепления, а также раскрашенный в два цвета равносторонний треугольник. Затратив немного времени на склеивание зеркального трехгранного угла, вы получите возможность, вложив в него раскрашенный треугольник, увидеть модель классического футбольного мяча! При покачивании модели относительно оси зрения картинка меняться не будет.

Зеркальные равнобедренные треугольники проще всего вырезать из пластика с зеркальным напылением. Если у вас нет возможности сделать модель, можете посмотреть видео «Математических этюдов».

Источник: Николай Андреев, «Математические этюды»

Что же это за такой магический зеркальный угол, в котором при отражениях виден футбольный мяч? (А на самом деле — икосаэдр, который виден еще более явно, если вложить в модель одноцветный треугольник.)

Зеркальный угол связан с самим икосаэдром: его вершина расположена в центре фигуры, а зеркала проходят через стороны одной из граней. Отсюда получаются и условия на стороны равнобедренных треугольников, образующих зеркальный угол. А то, что картинка в таком зеркальном угле будет икосаэдром, гарантирует теория групп, порожденных отражениями.

Современность

Как известно, сферу нельзя согнуть из плоской развертки. Это запрещает сделать математика — теорема о том, что важная характеристика поверхности, называемая гауссовой кривизной, не меняется при изгибании без растяжений.

Гауссова кривизна отражает внутреннюю геометрию поверхности и не меняется при ее изгибании. Например, у плоскости гауссова кривизна равна нулю. У цилиндра и конуса, которые можно свернуть из плоского листа бумаги, — тоже ноль.

А вот у сферы гауссова кривизна положительна. Значит, сделать сферу из плоских панелей (развертки) — невозможно. И наоборот, развернуть сферу на плоскость без искажений тоже нельзя, и все плоские карты Земли — неточны.

Поэтому какую модель мяча ни взять, ее необходимо «раздувать». А можно ли придумать модель мяча, состоящую из плоских панелей, но изначально более близкую к сфере, чем классическая? (Понятно, что можно взять многогранник с большим числом граней и вершин, но тогда усложнится процесс изготовления.)

После 2002 года начались эксперименты, и в 2014 году на чемпионате мира в Бразилии состоялась премьера нового официального мяча, получившего название Brazuca.

Модель этого мяча действительно более «сфероподобна», чем классическая. Но при этом Brazuca — это куб!

Как и куб, она собирается из шести одинаковых плоских панелей, имеющих по четыре угла. У нее восемь вершин, в каждой из которых сходится по три панели.

Изображение: Николай Андреев, «Математические этюды»

Придуманные фирмой Adidas панели действительно можно склеить в выпуклую поверхность. Успех гарантирует выполнение условий теоремы российского академика (и автора школьного учебника по геометрии) Александра Даниловича Александрова: сумма углов панелей в вершинах не превосходит 360 градусов, длины «сторон» панелей между углами совпадают, а сумма кривизн границ в точках склейки неотрицательна.

В модели классического мяча вся кривизна сосредоточена в конечном числе «выступающих» вершин. Все четыре угла панели Brazuca равны 120 градусам. Соответственно, когда в вершинах модели встречаются три угла, сумма углов вокруг вершины равна 360 градусам: поверхность мяча вокруг вершины будет «плоской».

Фото: fifg и Beto Chagas / Фотодом / Shutterstock

Но куда же делась кривизна? Ведь сфера является поверхностью постоянно положительной кривизны и кривизна должна быть! В модели бразуки кривизна «размазана» по длинным ребрам — из-за этого модель становится существенно более близкой к сфере, чем модель классического мяча.

Официальный мяч нашего чемпионата 2018 года — тоже куб. В описанном смысле. Только, в отличие от предыдущей модели, панели имеют не кривые границы, а являются одинаковыми плоскими многоугольниками. 

Николай Андреев

Вам также может понравиться:

«Польза малых шагов» — Как технические модификации отдельных формул иногда приводят к теоретическим прорывам

«Жизнь — сплошная потеря времени» — О жизни, работе и нелепой смерти Александра Фридмана

«Дайте две» — Как трансплантируют почки и при чем тут математика

Error

Anonymous comments are disabled in this journal

default userpic